16 Aralık 2013 Pazartesi

SADECE ONDOKUZ 

vs. 

ONDOKUZ & BİRŞEY


1)    Rasgele Bir Sayının Sadece Ondokuzun Katı Olarak İfade Edilebilmesinin Olasılıksal Değeri


Rasgele seçeceğimiz bir sayının 19’un katı olma olasılığı her zaman (1/19)dur. Seçimi (sadece 2 basamaklı sayılar, sadece 3 basamaklı sayılar gibi) daraltılmış bir alanda yaparsak olasılık yine de (1/19) civarında kalmaya devam eder. Birbirinden bağımsız olayların birarada gerçekleşmesi durumunda olasılıkları çarpılır. Mesela (1/19) olasılıklı birbirinden bağımsız n tane olayın birarada gerçekleşmesi olasılığı (1/19)n dir. Bu olasılığın olay sayısının artışından çok çok daha hızlı bir şekilde arttığını gösterir.  Ondokuzda bir olasılıklı birkaç olay üstüste gerçekleşince olasılık teorisi bize, matematikle ilgili olmayanlara fazla anlam ifade etmeyecek, virgülden sonra bol sıfırların başladığı sayılar verir.

Peki hangi seviyenin altında bir olasılığı doğal bir tesadüf olarak kabul edemeyiz? İşte matematik bu konuda bir standart öneremez. Burada matematik devreden çıkar, vicdanımız ve sağduyumuz devreye girer. Günlük hayatta hangi düzeydeki olasılıkları ciddiye alıyor, hangilerini ‘gerçekleşmez’ diye ihmal ediyoruz? Bu tercih sınırının herkes için aynı olmasını bekleyemeyiz. Mesela Bertrand Russell gibi septiklerde bu eşik çok  daha düşük düzeyde olabilir. Ben insanların bu konuda belli bir eşik değeriyle değil fakat tutarlılıklarıyla sorumlu tutulacağına inanıyorum.

Diyelim ki tanımadığınız bir adamla barbut oynuyorsunuz. Siz 3 attınız, o 6... Ve paranızı aldı. Siz 1 attınız, o yine 6... Ve yine paranızı aldı. Siz ne atarsınız atın o istisnasız hep 6 attı ve hep o kazandı. Kaçıncı seferden sonra “ne kadar şanslı adam” düşüncesi yerini “acaba zar hileli mi?” sorusuna bırakır? Ve bu şüphe kaçıncı seferden sonra dolandırıldığınız kanaatine dönüşür?
Tamamı 19'un tam katı gelen bağımsız verilerin sayısı
Zarda
 istisnasız sürekli 6 attığı el sayısı
Yazı-tura oyununda
istisnasız sürekli istediğini attığı el sayısı
2
3
8
3
5
13
4
7
17
5
8
21
6
10
25
7
12
30
8
13
34
9
15
38
19
31
81
29
48
123
39
64
166
Evet, matematik neye tesadüf, neye mucize diyeceğinize karışmaz. Ama (1/19) olasılıklı kaç tane bağımsız olayın bir arada gerçekleşmesinin yukarıdaki barbut senaryosunun olasılıksal olarak kaçıncı eline denk geldiğini gösterebilir. Ya da benzer senaryonun yaşandığı bir yazı tura oyununun... Gerçek hayatın içinden alınan senaryolarla teorik veriler arasında bağ kurmak, kendi tutarlılığını test etmek isteyen insanlar için güzel bir fırsat sunabilir.

19 dışında başka bir asal sayı kullanılarak da elde edilen sonuçlar da böyle düşük olasılıklar verir mi? 19’dan daha büyük bir asal sayı ile çalışırsak bulduğumuz her verinin etkisi daha fazla bile olur. Fakat üste üste, mesela 23’ün katlarını veren sistematik istatistiklerle karşılaşmak çok çok zor olduğundan Kuran’da ya da başka herhangi bir kitapta böyle yapılar olduğunu iddia eden çalışmalar duymadım ve duyacağımı tahmin etmiyorum. 19’dan küçük sayılar arasındaysa (özellikle 7 ve 2) böyle çalışmalar var. Ancak onların handikapı da olasılıksal olarak 19 ile aynı etkiyi gösterebilmeleri için çok daha fazla sayıda bağımsız veri sunmaları gerekiyor.  Sonuçta rasgele aldığımız bir sayının 19’un katı çıkma olasılığı (1/19) iken 7’nin katı çıkma olasılığı da (1/7) olur ve tablomuz ona göre şekillenir. Tablomuza 7’yi de eklersek:
Tamamı 7nin tam katı gelen bağımsız verilerin sayısı
Tamamı 19'un tam katı gelen bağımsız verilerin sayısı
Zarda
istisnasız sürekli
6 attığı el sayısı
Yazı-tura oyununda istisnasız sürekli istediğini attığı el sayısı
3
2
3
8
5
3
5
13
6
4
7
17
8
5
8
21
9
6
10
25
11
7
12
30
12
8
13
34
14
9
15
38
29
19
31
81
44
29
48
123
59
39
64
166

2) Ondokuzdan Vazgeçmeden Yanına Başka Bir Sayı Getirmek

Rasgele aldığımız bir sayının 19’un katı çıkma olasılığı (1/19) iken 7’nin katı çıkma olasılığı da (1/7) olur demiştik. 19’un katı çıkmayan bir sayının haliyle çarpanları da 19’un katı çıkmaz. Peki 19’un katı çıkmayan bir sayıyı biri 19’un katı diğeri seçeceğimiz kardeş bir sayının (mesela 7 olsun) katı olacak şekilde iki toplanana ayırsak ve bu yolla tamamı 19 ve 7’nin katlarının toplamı edecek olan bir sürü bağımsız verilerden oluşan bir yapı elde etsek; bu yapının olasılıksal değeri ne olurdu? Tutarlı bir tepki vermek adına bizi ne kadar şaşırtmalıydı?

Doğru cevap hiç. Sadece 19’un, sadece 7’nin, sadece x’in katlarını aramak üzerine inşa edilen bir yapının heyecan yaratması ortaya çıkacak verilere göre ihtimal dahilindedir. Ama tek bir sayı yerine bir sayı ikilisi kullanmak sistemi daha enteresan değil, sıradan hale getirir. Matematiksel olarak aralarında asal, yani hiçbir ortak böleni olmayan iki sayının katları toplamını aramak-bulmak değil, ona rastlamamak mucize olur. 19 bir asal sayı olmasaydı, yanına bir sayı getirip ikili oluşturmaktan belki bahsedilebilirdi. Ama 19 asal sayı olduğu için yanına getirelecek her sayı ile illa ki aralarında asal olacaklardır. Bu da linear kombinasyonları arasında 1’in olduğu anlamına gelir. 1’i elde eden de her sayıyı elde edebilir.

İşin teorik kısmına fazla girmeden herhangi bir sayının 7 ve 19’un katları cinsinden ifade edebileceğimiz bir yöntem sunayım.
Herhangibir sayı alalım. Mesela 6348 olsun. J
6348 19’a bölünmüyor. 7’ye de bölünmüyor... Hiç üzülmüyoruz. Birazdan bu sayıdan 19’un tam katı olan öyle bir parça kopartacağız ki, geriye kalan kısım 7’ye kalansız bölünecek. Şimdi sakince 7’ye bölümünden kaç arttığına bakıyoruz:
6348
7
906
6
Sonra hemen 19’un tamkatı olan sayılar arasından 7’ye bölümü 6348 ile aynı kalanı verecek bir tanesini seçiyoruz. Böyle kaç tane sayı var seçebileceğimiz? Sonsuz...
Ben aşağıda birkaç tanesini listeledim.
19'un tamkatı olan sayıların 7'ye bölümden kalanlar
0
0
133
266
399
532
665
798
931
1064
1197
1330
...
1
57
190
323
456
589
722
855
988
1121
1254
1387
...
2
114
247
380
513
646
779
912
1045
1178
1311
1444
...
3
38
171
304
437
570
703
836
969
1102
1235
1368
...
4
95
228
361
494
627
760
893
1026
1159
1292
1425
...
5
19
152
285
418
551
684
817
950
1083
1216
1349
...
6
76
209
342
475
608
741
874
1007
1140
1273
1406
...

6348, 7’nin katlarından 6 arttırdığı için 7’nin katlarından 6 arttıracak bir sayıyı seçiyoruz.
76, 209, 342, 475,...
133’er 133’er (133=19x7) artttığını farkedebileceğiniz bu listedeki sayılardan dilediğimizi seçiyoruz.
Haydi 1140 olsun. Geriye kaç kaldı? 6348-1140=5208
Böylece
6348 = 1140 + 5208
6348 = (60 x 19) + (744 x 7)

İki tarafa daha dengeli dağıtmak istersek, mesela:
6348 = 3135 + 3213 sayılarını seçebiliriz. Böylece:
6348 = (165 x 19) + (459 x 7) diye de yazabiliriz.

Sadece 6348’i değil istisnasız bütün sayıları 19 ve 7’nin katları cinsinden elde edebiliriz.
19’a tam bölünmeyen (geride kalan bırakan) her sayı ya 7’ye tam bölünür ya da 7 ile 19’un katları cinsinden ifade edilebilir. Hem de sonsuz farklı şekilde...
Bu durum küçük sayılar için de geçerlidir. Ama küçük sayılar iki büyük sayının pozitif katlarının toplamı olarak yazılamayacağından negatif katları kullanmak yani çıkarma yapmak gerekecektir.
Mesela:
1 = 57 – 56
1= (3 x19) – (8 x 7) gibi...
114’ten küçük sayılarını yarısına yakını için çıkarma yapmak bir ihtiyaç. İşin içine çıkarma ya da negatif sayılar girmesin istiyorsak:
“114’den büyük, 19’a tam bölünmeyen her sayı ya 7’ye tam bölünür ya da 7 ile 19’un pozitif katları cinsinden ifade edilebilir.” de diyebiliriz.

Özet olarak,

  • 1.       Sayıların az bir kısmı (%5’i) 19’a tam bölünür (19’un tam katıdır).
  • 2.       Geri kalan tüm sayılar ya 7’nin tam katıdır, ya da 19 ve 7’nin tamkatları olacak iki parçaya ayrılabilir.
  • 3.       19’un geride bıraktıklarını 7 ile içeriye alma çabaları olasılıksal açıdan hiçbirşey ifade etmez.

7ar1k

Hiç yorum yok:

Yorum Gönderme